CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

febrero 03, 2025

CONOCIMIENTO APRENDIDO:

Se dice que una funcion f (x) es continua en un punto

X=A si y solo se cumple las tres condiciones siguientes

1.Que el punto X=A tenga imagen

2.Que exista el limite de la funcion en el punto X=A

3.Que la imagen y el punto coincida.con limite de la funcion en el punto

El dominio de una funcion es el rango de valores de X para los que existen F(x)

la imagen en el rango de los valores F(x) para los que existe un valor de X.

se dice que la funcion es discontinua si no es continua,presenta algun punto

en el que existe un salto y la grafica se rompe

CONOCIMIENTO CONSULTADO;

Continuidad de una función

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

La función existe en a.
Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

Ejemplo de función continua.

La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

Funciones continuas

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.
Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

Propiedades de las funciones continuas

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Discontinuidades evitables

Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente: