INTERVALOS Y TEORIA DE CONJUNTOS

julio 14, 2025

METODOS PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES ..

Eliminatoria de gaus ..

Eliminación Gaussiana

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos seguir los siguientes pasos:

Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
Use operaciones elementales de fila para llevar la matriz aumentada a una forma escalonada.
Mediante sustitución regresiva, resuelva el sistema equivalente correspondiente a la matriz aumentada escalonada.

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{array}{rrrr} x & + 2 y & + z & = 0 \\ x & + z & = 2 \\ y & + 2 z & = 1. \end{array}$

Solución: La matriz aumentada asociada al sistema es $[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}]$ . Utilizando Eliminación Gaussiana obtenemos lo siguiente $[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}] \overset{R_{2} - R_{1}}{⟶} [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}] \overset{- (\frac{1}{2}) R_{2}}{⟶} [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}] \overset{R_{3} - R_{2}}{⟶} [\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{array}] .$ De la tercera fila se obtiene $2 z = 2$ , es decir, $z = 1$ . De la segunda fila obtenemos $y = - 1$ . Finalmente, de la primera fila se obtiene $x + 2 y + z = 0$ , es decir, $x = 1$ . Concluimos que la solución del sistema de ecuaciones es $\begin{aligned} x & = 1 \\ y & = - 1 \\ z & = 1. \end{aligned}$ De manera vectorial esta solución se puede escribir de la forma $[\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] .$

METODO REGLA DE CRAMER .. Esta regla establece que toda incognita en un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede ser expresada como una fraccion de 2determinates con determinador D y con el numerador obtenido apartir del D al remplazar la columna de coeficientes de la incognita es cuestion por lasconstantes ...

La regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales (SEL) compatibles determinados, es decir, con una única solución.

El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante distinto de 0).

Recordad que podemos escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial como:

$A \cdot X = b$

donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ es la matriz columna con las incógnitas y $b$ es la matriz columna con los términos independientes.

Bajo estas condiciones, la regla de Cramer es la siguiente:

La incógnita $x_{i}$ del sistema $A X = b$ es

$x_{i} = \frac{| A_{i} |}{| A |}$

donde $A_{i}$ es la matriz $A$ , pero cambiando la columna $i$ de $A$ por la columna de términos independientes, $b$ .

Para resolver el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, expresemos el sistema de ecuaciones mediante su forma matricial. Es decir el sistema:

$\text{[math]}$