TEOREMA DE BINOMIO

diciembre 13, 2024

Usar el teorema del binomio

Cuando expandimos ${(x + y)}^{n}$ multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ${(x + y)}^{52},$ podríamos multiplicar $(x + y)$ por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de $x$ disminuye y el exponente de $y$ aumenta. La suma de los dos exponentes es $n$ para cada término.

A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}), ..., (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) .

Estos patrones nos llevan al teorema del binomio, que se puede usar para expandir cualquier binomio.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k} \\ = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + ... + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} + y^{n} \end{array}

Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, $x + y,$ a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{1} = x + y \\ {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio ${(x + y)}^{5} ?$

Figura 1

Vea la Figura 1, que ilustra lo siguiente:

Hay $n + 1$ términos en la expansión de ${(x + y)}^{n} .$
El grado (o suma de los exponentes) de cada término es $n .$
Las potencias en $x$ comienzan con $n$ y disminuyen a 0.
Las potencias en $y$ comienzan con 0 y aumentan hasta $n .$
Los coeficientes son simétricos.

Para determinar la expansión en ${(x + y)}^{5},$ vemos que $n = 5,$ por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de $x,$ el patrón es el siguiente:

Introduzca $x^{5},$ y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en $x$ por 1 hasta que $x^{0} = 1$ se alcance.
Introduzca $y^{0} = 1,$ y luego aumente el exponente en $y$ por 1 hasta que $y^{5}$ se alcance.
$x^{5}, x^{4} y, x^{3} y^{2}, x^{2} y^{3}, x y^{4}, y^{5}$

La siguiente expansión sería

{(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} .

¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal, se muestra en la Figura 2. Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad.

Figura 2

Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3.a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume $1 + 1$ para hallar el número del medio, el 2. En la $enésima$ fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.

Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma genera

Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Expandir un binomio con un exponente alto como ${(x + 2 y)}^{16}$ puede ser un proceso largo.

A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico.

Observe el patrón de coeficientes en la expansión de ${(x + y)}^{5} .$

{(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5}

El segundo término es $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y .$ El tercer término es $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} .$ Podemos generalizar este resultado.