CALCULO DE MAXIMOS Y MINIMOS

Calculo de maximos y minimos ..

calculo de maximos y minimos .

El problema fundamental asociado al uso de funciones para modelar problemas matematicos

consiste en calcular los valores de la variable independiente para los cuales la funcion

toma un valor que se pueda considerar maximo o minimo de la funcion.este problema de optimizacion

se resulve con el uso de la derivada ...

determinando el crecimiento y decrecimiento de una funcion ...

Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes.
Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos:

Se obtiene la derivada de la función.
Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.
Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.
Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.

INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:

Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba.
En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge.
Determinar los intervalos crecientes y decrecientes de una función:

Obtenemos la de derivada de la función.
Se determinan los valores críticos.
Se ubican dichos valores en una recta.
Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada.

*Si la derivada es mayor a cero, es creciente.
*Si la derivada es menor a cero, es decreciente.

CONCAVIDAD:

Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada.
Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.
De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva.
En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión.

PUNTO DE INFLEXIÓN:

El punto de inflexión es aquel en donde la recta tangente atraviesa la gráfica de la función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a cóncava.
Por lo tanto éste punto nos representa el cambio de concavidad en la función.
Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad.

Ejemplo para sacar un punto máximo y mínimo de una función

A continuación se utilizará el método de la segunda derivada.
1ER PASO
Se saca la derivada de la función:
f'(x)= 3x^2 - 6x - 9
Y luego se iguala a 0 para convertirla a una ecuación la cuál se puede dividir.
3x^2 - 6x - 9 = 0
Se ^puede dividir entre 3 y queda:
x^2 - 2x - 3= 0
Se factoriza:
(x - 3)(x+ 1) = 0
x-3 = 0 ; x + 1=0
x= 3 ; x= -1
Estos son los valores para x de los máximos y mínimos, pero ahora toca saber cuál es cual.

2DO PASO
Se saca una segunda derivada y queda así:
f''(x) = 6x - 6
y se evalúan con las dos x que despejamos.
f''(-1) = 6(-1) - 6= - 12. Como el resultado es menor que 0, el valor evaluado representa un máximo.
f''(3)= 6(3) - 6= + 12 . Como el resultado es mayor que 0, el valor evaluado representa un mínimo.
Ahora, con los valores de x despejados, se evalúa en la función original para sacar el valor de y del máximo y del mínimo:
f(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1= -1 -3 + 9 + 1= 6
f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1= 27 -27 - 27 +1= -26
Con esto ya sabemos las coordenadas para los valores máximos y mínimos de la función.

V. Máx: (-1 , 6) V. Mín:(3 , - 26)

PASO 3
A se saca el punto de inflexión para saber donde cambia la curvatura entre los puntos máximos y mínimos.
La segunda derivada se iguala a cero para sacar el valor que queremos al despejar la x.
6x - 6 = 0
6x= 6
x=6/6
x= 1
Luego se sustituye este valor en la función original para sacar el valor de y.
f(1)= (1)^3 -3(1)^2 - 9(1) +1
f(1)= 1 -3 -9 +1 = - 10
Y aquí la tenemos, la coordenada del punto de inflexión es (1, - 10).
En este punto la derivada atraviesa la fuion..