METODO DE NEWTON -RAPHSON

 Lo aprendido en clase: los metodos abiertos se basan en formulas que requieren unicamente de un solo valor de inicio X o que empiezan con un par de ellos ,pero que no necesariamente encierran ala raiz el metodo para localizar raices es por medio de newton rapshon,si el valor inicial de la raiz es X Y entonces se puede exterder una tangente desde ese punto ...


formula de newton rapshon 

por lo cual tiene un procedimiento para aplicarlo..
*calcular F`(x)
*evaluar Xa en f(x) y F`(x)
*calcular la raiz aproximada (Xa + 1)
*calcular el error ..





A continuacion ...



CONOCIMIENTO CONSULTADO ;

 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1:

Encuentra la raíz cúbica de 12 usando el método de Newton Raphson asumiendo x 0 = 2,5.

Solución:

Sabemos que la fórmula iterativa para encontrar la raíz b de a está dada por:


incógnitanorte+1=1b[(b−1)incógnitanorte+aincógnitanorteb−1]

De lo dado, a = 12, b = 3

Sea x 0 la raíz cúbica aproximada de 12, es decir, x 0 = 2,5.

Entonces, x 1 = (⅓) [2x 0 + 12/x 0 2 ]

= (⅓) [2(2,5) + 12/(2,5) 2 ]

= (⅓) [5 + 12/6,25]

= (⅓)(5 + 1,92)

= 6,92/3

= 2.306

Ahora,

x 2 = (⅓)[2x 1 + 12/x 1 2 ]

= (1/3) [2(2.306) + 12/(2.306) 2 ]

= (⅓) [4.612 + 12/5.3176]

= (⅓) [4.612 + 2.256]

= 6.868/3

= 2.289

Por lo tanto, la raíz cúbica aproximada de 12 es 2,289.

Ejemplo 2:

Encuentra una raíz real de la ecuación -4x + cos x + 2 = 0, por el método de Newton Raphson hasta cuatro decimales, suponiendo x 0 = 0,5.

Solución:

Ecuación dada: -4x + cos x + 2 = 0

x 0 = 0/5

Sea f(x) = -4x + cos x + 2

f'(x) = -4 – sen x

Ahora,

f(0) = -4(0) + cos 0 + 2 = 1 + 2 = 3 > 0

f(1) = -4(1) + cos 1 + 2 = -4 + 0,5403 + 2 = -1,4597 < 0

Por tanto, una raíz se encuentra entre 0 y 1.

Encontremos la primera aproximación.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

= 0,5 – [-4(0,5) + cos 0,5 + 2]/ [-4 – sen 0,5]

= 0,5 – [(-2 + 2 + cos 0,5)/ (-4 – sen 0,4)]

= 0,5 – [cos 0,5/ (-4 – sen 0,5)]

= 0,5 – [0,8775/ (-4 – 0,4794)]

= 0,5 – (0,8775/-4,4794)

= 0,5 + 0,1958

= 0.6958


El método de Newton utiliza la siguiente idea para aproximar las soluciones de f(x)=0. Trazando un gráfico de f, podemos estimar una raíz de f(x)=0. Llamemos a esta estimación x0. A continuación, trazamos la línea tangente a f en x0. Si f′(x0)≠0, esta línea tangente se cruza con el eje x en algún momento (x1,0). Ahora supongamos que x1 es la siguiente aproximación a la raíz real. Típicamente, x1 está más cerca que x0 a una raíz real. A continuación trazamos la línea tangente a f en x1. Si f′(x1)≠0, esta línea tangente también se interseca con el eje x, produciendo otra aproximación, x2. Continuamos así, derivando una lista de aproximaciones x0,x1,x2,…. Normalmente, los números x0,x1,x2,… se acercan rápidamente a una raíz real x*, 














Referencia:www.youtube.com/@ing.oscaraguilar7826,

www.youtube.com/@ABNERVAZ,

Método de Newton-Raphson: fórmula y condiciones de

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